적분과 미분의 관계

그림과 같이 함수 $f(x)$ 가 $a\le x\le b$ 에서 정의되었을 때 구간 $[a,b]$ 를 동일한 간격 $\mathrm{\Delta }x=\frac{b-a}{n}$ 으로 $n$개의 작은 구간으로 나눈다. $x_0(=a),x_1,x_2,\dots ,x_n(=b)$ 를 각 구간의 끝점이라 하고, $x_1^{\ast },x_2^{\ast },\dots ,x_n^{\ast }$ 을 각 구간 내에 놓인 임의의 점이라고 하면, 곡선 $f(x)$ 와 두 직선 $x=a.x=b$ 로 둘러싸인 도형의 면적 $S$ 는 다음과 같이 직사각형의 면적의 합의 극한이다.

 

$$\begin{array}{}\text{(1)}& S=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\mathrm{\Sigma }}_{i=1}^{n}f(x_i^{\ast })\mathrm{\Delta }x\end{array}$$

 

 

 

이 때 함수 $f(x)$ 가 반드시 양의 함수일 필요는 없다.

 

 

이와 같은 면적을 계산하는 방법에 기반하여, 함수 $f(x)$ 의 $a$에서 $b$까지의 정적분(definite integral)을 다음과 같이 정의한다.

 

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\mathrm{\Sigma }}_{i=1}^{n}f(x_i^{\ast })\mathrm{\Delta }x={\int }_a^{b}f(x)dx\end{array}$$

 

여기서 적분 기호 $\int$ 는 연속적으로 더한다는 의미에서 Sum의 앞글자 S를 길쭉하게 표기한 것이라고 한다.

정적분 ${\int }_a^{b}f(x)dx$ 는 어떤 숫자이므로 변수 $x$ 대신에 다른 변수를 사용해도 된다. 즉, 변수 $x$에 종속되지 않는다.

 

$$\begin{array}{}\text{(3)}& {\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{b}f(t)dt={\int }_a^{b}f(y)dy\end{array}$$

 

구간 $[a,b]$ 에 속하는 임의의 점 $x$에 대하여 곡선 $f(t)$ 와 두 직선 $t=a.t=x$ 로 둘러싸인 도형의 넓이는 $x$값에 따라 달라지므로 $x$의 함수가 된다. 이 도형의 넓이를 $S(x)$라고 하면, 정적분(definite integral)의 정의에 의하여 넓이는

 

$$\begin{array}{}\text{(4)}& S(x)={\int }_a^{x}f(t)dt\end{array}$$

 

가 된다.

 

 

도함수(derivative)의 정의에 의하면 $S(x)$의 도함수는 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(5)}& S^{\prime }(x)& =\underset{h\to 0}{lim}\frac{S(x+h)-S(x)}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{h}({\int }_a^{x+h}f(t)dt-{\int }_a^{x}f(t)dt)\\ \\ & =\underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{h}({\int }_a^{x}f(t)dt+{\int }_x^{x+h}f(t)dt-{\int }_a^{x}f(t)dt)\\ \\ & =\underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{h}({\int }_x^{x+h}f(t)dt)\end{array}$$

 

 

 

여기서 구간 $[x,x+h]$ 에서 함수 $f(t)$ 의 최대 절대값을 $M_{max}$, 최소 절대값을 $M_{min}$ 이라고 하면 다음 식이 성립한다.

 

$$\begin{array}{}\text{(6)}& M_{min}h\le {\int }_x^{x+h}f(t)dt\le M_{max}h\end{array}$$

 

또는

 

$$\begin{array}{r}-M_{max}h\le {\int }_x^{x+h}f(t)dt\le -M_{min}h\end{array}$$

 

$h\to 0$ 이면 $M_{max}\to f(x)$, $M_{min}\to f(x)$ 이므로

 

$$\begin{array}{}\text{(7)}& f(x)\le \underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{h}({\int }_x^{x+h}f(t)dt)\le f(x)\end{array}$$

 

가 된다. 즉 식 (5)는 다음과 같이 된다.

 

$$\begin{array}{}\text{(8)}& S^{\prime }(x)=\frac{dS(x)}{dx}=f(x)\end{array}$$

 

한편 함수 $f(x)$가 $F(x)$의 도함수이면 $F(x)$는 $f(x)$의 역-도함수(antiderivative) 또는 원시함수(primitive function)라고 한다. 즉,

 

$$\begin{array}{}\text{(9)}& F^{\prime }(x)=f(x)\end{array}$$

 

또한 $F(x)$와 $S(x)$가 모두 함수 $f(x)$의 역-도함수라고 하면 두 함수는 다음과 같은 관계를 갖는다.

 

$$\begin{array}{}\text{(10)}& F(x)=S(x)+C\end{array}$$

 

여기서 $C$는 임의의 상수로서 위 식은 역-도함수가 유일하지 않다는 것을 의미한다. 즉, $F(x)$와 $S(x)$가 모두 함수 $f(x)$의 역-도함수라고 하면

 

$$\begin{array}{r}\frac{dF(x)}{dx}=f(x),\frac{dS(x)}{dx}=f(x)\end{array}$$

 

이므로

 

$$\begin{array}{r}\frac{d}{dx}(F(x)-S(x))=\frac{dF(x)}{dx}-\frac{dS(x)}{dx}=f(x)-f(x)=0\end{array}$$

 

이다. 따라서 $F(x)-S(x)=C$ 가 된다.

식 (4)와 (8)에 의하면 $S(x)$는 $f(x)$의 역-도함수이고 다음 관계식을 갖는다.

 

$$\begin{array}{}\text{(11)}& S(a)={\int }_a^{a}f(t)dt=0,S(b)={\int }_a^{b}f(t)dt\end{array}$$

 

함수 $F(x)$도 $f(x)$의 역-도함수라면 $F(x)=S(x)+C$ 이므로 식 (11)에 의하면,

 

$$\begin{array}{r}\text{(12)}& F(b)-F(a)& =(S(b)+C)-(S(a)+C)\\ & =S(b)\\ \\ & ={\int }_a^{b}f(t)dt\end{array}$$

 

이 성립한다. 정리하면

 

$$\begin{array}{r}\text{(13)}& & \frac{dF(x)}{dx}=\frac{d}{dx}{\int }_a^{x}f(t)dt=f(x)\\ & {\int }_a^b\frac{dF(x)}{dx}dx=F(b)-F(a)\end{array}$$

 

이므로, 어떤 함수 $f(x)$를 적분한 후 미분하면 원래 함수로 돌아간다. 또한 어떤 함수 $F(x)$를 미분한 후 적분하면 원래 함수 $F(x)$로 돌아간다. 물론 정적분이므로 $F(b)-F(a)$의 형태로 돌아갔다.

식 (13)에 의하면 미분과 적분은 서로 역의 관계가 있다는 것을 알 수 있다. 이를 이용하면 다음과 같이 부정적분(indefinite integral)을 정적분과 동일한 적분 기호를 사용하여 정의할 수 있다.

 

$$\begin{array}{}\text{(14)}& \frac{dF(x)}{dx}=f(x)⟷\int f(x)dx=F(x)\end{array}$$

 

즉 부정적분은 $f(x)$의 역-도함수 $F(x)$를 구하는 연산이다. 또한 부정적분은 정적분의 계산에 사용된다.