[Trig] 사인법칙

사인법칙(sine rule)은 어떠한 삼각형(any triangle)에 대해서도 성립하는 공식(formula)으로서 다음과 같다.

 

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$$

 

여기서 $a,b,c$ 는 삼각형(triangle)의 변(side)의 길이(length)이며, $A,B,C$ 는 각 변과 마주보는 각(angles opposite those sides)이다.

 

 

사인법칙(sine rule)에 의하면 삼각형의 두 각(angle)과 한 변(side)의 길이를 안다면 다른 두 변의 길이를 알 수 있다.

예를 들면 다음과 같다. 다음 삼각형에서 변의 길이 $b$ 와 $c$ 를 구하는 문제다.

 

 

그러면 각(angle) $C$ 는 $\angle C=\pi -\frac{2\pi }{9}-\frac{4\pi }{9}=\frac{\pi }{3}$ 이고 공식으로부터 변(side) $b$ 와 $c$ 의 길이는 다음과 같이 계산된다.

 

$$\begin{array}{rl}& \frac{27}{\sin \frac{2\pi }{9}}=\frac{b}{\sin \frac{4\pi }{9}}=\frac{c}{\sin \frac{\pi }{3}}\\ \\ & \to b=(\sin \frac{4\pi }{9})\frac{27}{\sin \frac{2\pi }{9}}=41.4\\ \\ & \to c=(\sin \frac{\pi }{3})\frac{27}{\sin \frac{2\pi }{9}}=36.4\end{array}$$

 

이제 사인법칙을 증명해 보자.

 

 

위 삼각형 $\mathrm{\Delta }ABC$ 의 넓이(area)를 $S$ 라고 하면 다음 식이 성립한다.

 

$$\begin{array}{r}S=\frac{1}{2}a(b\sin C)=\frac{1}{2}b(c\sin A)=\frac{1}{2}c(a\sin B)\end{array}$$

 

위 식을 $\frac{1}{2}abc$ 로 나누면,

 

$$\begin{array}{r}\frac{\sin C}{c}=\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}\end{array}$$

 

인데 각 변의 역수를 취하면 사인법칙이 증명된다.