[Trig] 코사인법칙

코사인법칙(cosine rule)은 어떠한 삼각형(any triangle)에 대해서도 성립하는 공식(formula)으로서 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{rl}& a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\\ \\ & b^2=a^2+c^2-2ac\cos B\\ \\ & c^2=a^2+b^2-2ab\cos C\end{array}$$

 

여기서 $a,b,c$ 는 삼각형의 변(side)의 길이(length)이며, $A,B,C$ 는 각 변과 마주보는 각(angles opposite those sides)이다. 그림에서 마주보는 각의 표시는 다음과 같이 표시하든가,

 

 

아니면 꼭지점(vertex) 위치에 표시하든가 한다.

 

 

코사인법칙에 의하면 삼각형의 세 변의 길이를 안다면 세 각(angle)을 모두 알 수 있고, 두 변의 길이와 끼인각(angle between them)의 크기를 안다면 다른 한 변의 길이를 알 수 있다.

예를 들면 다음과 같다. 다음 삼각형에서 $\cos C$ 를 구하는 문제다.

 

 

그러면 $c=6$ 이고 $a$ 와 $b$ 는 각각 $5$ 와 $7$ 로 두면 된다. 다음 공식으로 부터

 

$$\begin{array}{r}{c}^2=a^2+b^2-2ab\cos C\end{array}$$

 

$\cos C$ 는 다음과 같이 계산된다.

 

$$\begin{array}{r}\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{25+49-36}{2(5)(7)}=\frac{19}{35}\end{array}$$

 

이번에는 변 $a$ 의 길이를 구하는 문제다.

 

 

$A={120}^0$ 로 놓고 다음 공식을 이용하여 계산하면 된다.

 

$$\begin{array}{rl}{a}^2& =b^2+c^2-2bc\cos A=4+9-2(2)(3)\cos {120}^0\\ \\ & =13-12(-\frac{1}{2})\\ \\ & =19\end{array}$$

 

따라서 $a=\sqrt{19}$ 다.

이제 코사인법칙을 증명해 보자.

먼저 각 $A$ 가 예각(acute angle)인 경우다. 아래 그림과 같이 선분 $\overline{AC}$ 와 수직이 되도록 선분 $\overline{BH}$ 를 긋는다.

 

 

그러면 선분 $\overline{BH}$ 의 길이는 $c\sin A$ 이고 선분 $\overline{AH}$ 의 길이는 $c\cos A$ 이다. 삼각형 BHC는 직각 삼각형이므로 피타고라스의 정리에 의해서,

 

$$\begin{array}{rl}{a}^2& =(b-c\cos A{)}^2+(c\sin A{)}^2\\ \\ & =b^2-2bc\cos A+c^2{\cos }^{2}A+c^2{\sin }^{2}A\\ \\ & =b^2-2bc\cos A+c^2\end{array}$$

 

가 된다.

이번에는 각 $A$ 가 둔각(obtuse angle)인 경우다. 아래 그림과 같이 선분 $\overline{AC}$ 를 연장한 선분 $\overline{HC}$ 와 수직이 되도록 선분 $\overline{BH}$ 를 긋는다.

 

 

그림에서 각 $\theta ={180}^0-A$ 다. 그러면 선분 $\overline{BH}$ 의 길이는 $c\sin \theta$ 이고 선분 $\overline{AH}$ 의 길이는 $c\cos \theta$ 이다. 삼각형 BHC는 직각 삼각형이므로 피타고라스의 정리에 의해서,

 

$$\begin{array}{rl}{a}^2& =(b+c\cos \theta {)}^2+(c\sin \theta {)}^2\\ \\ & =b^2+2bc\cos \theta +c^2{\cos }^2\theta +c^2{\sin }^2\theta \\ \\ & =b^2+2bc\cos \theta +c^2\\ \\ & =b^2+2bc\cos ({180}^0-A)+c^2\\ \\ & =b^2-2bc\cos A+c^2\end{array}$$

 

가 된다.

따라서 각 $A$ 가 둔각이든, 예각이든 동일한 식을 유도할 수 있다.

각 $A$ 가 직각(right angle)인 경우에는 피타고라스 정리와 $cosA=\cos {90}^0=0$ 임을 이용하면 자연스럽게 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ 가 성립함을 알 수 있다.

 

 

$b^2$ 과 $c^2$ 에 관한 식도 동일한 방법으로 유도할 수 있다.